Las Matemáticas han sido capaces de romper sus barreras internas, e interaccionan con otras ciencias, con las empresas, las finanzas, las cuestiones de seguridad, la gestión, la toma de decisiones o la modelización de sistemas complejos. Y algunas de estas disciplinas, por su parte, están retando a los matemáticos con nuevas clases de problemas interesantes lo que, a su vez, está dando lugar a nuevas aplicaciones.

Quizá, por ello y por el sentido práctico americano, se crean instituciones como el Instituto de Matemáticas Clay, financiado por el rico empresario americano Landon Clay, con sede en Cambridge (Massachussets). Es una fundación privada, sin ánimo de lucro, dedicada a estimular y divulgar el conocimiento de las Matemáticas.

POINCARÉ. Con motivo del cambio de siglo, en el año 1900, el científico alemán David Hilbert elaboró una lista con los 23 grandes problemas que los matemáticos del siglo XIX habían sido incapaces de resolver. Ello marcó buena parte de la investigación matemática del siglo XX y de los 23 retos de Hilbert, 20 fueron resueltos o abordados satisfactoriamente, dos ya no se consideran cruciales y otro sigue estando vigente.

Dentro de los actos celebrados por el College de France para conmemorar el centenario de esa lista, el 25 de mayo del 2000, en París, el Instituto Clay ofreció un millón de dólares a cada uno de quienes solventen cualquiera de los siete enigmas fundamentales de una nueva lista de problemas que, hasta ahora, han derrotado a la matemática del siglo XX. En este Millennium Prize Problem, una de las reglas del premio especifica que la solución propuesta deberá estar expuesta previamente, por un periodo de al menos dos años, al escrutinio de la comunidad matemática internacional. Para muchos matemáticos es claro que, dada la importancia y naturaleza de los problemas seleccionados, la solución de cualquiera de ellos indudablemente proporcionará a su autor no sólo una considerable cantidad de dinero sino además un lugar sobresaliente en la historia de la Matemática.

Entre estos problemas, tras más de un siglo de su enunciado, sigue figurando la conjetura de Poincaré. Henri Poincaré (1854-1912), físico francés y uno de los principales matemáticos del siglo XIX, realizó importantes y originales aportaciones a las ecuaciones diferenciales, la probabilidad y a la teoría de las funciones. Destacó por su desarrollo de las llamadas funciones fuchsianas, y por sus contribuciones a la mecánica analítica. Sus estudios engloban investigaciones sobre la teoría electromagnética de la luz y sobre la electricidad, mecánica de fluidos, transferencia de calor y termodinámica. También se anticipó a la teoría del caos.

Y todo parece indicar que, antes de un año, de acuerdo con las normas de la competición, habrá un ganador, un matemático ruso, que habrá solucionado su conjetura topológica, la conjetura de Poincaré.

TOPOLOGÍA. Poincaré inventó la Topología. La topología se interesa por establecer una clasificación apropiada de las superficies, por las propiedades fundamentales de las estructuras y de los espacios. Existe una cantidad infinita de superficies distintas en el espacio. Ejemplos sencillos son los planos, las superficies de las esferas, de los elipsoides, de los toros, de los paraboloides, los hiperboloides, etc. Para simplificar podemos imaginarnos las superficies como delgadísima láminas de goma totalmente flexibles, contraíbles o extensibles, con posibilidad de transformarse, siempre que no se pinchen o rasguen. A los ojos de un especialista en Topología, si una superficie puede ser deformada continuamente en otra, entonces las dos son "esencialmente iguales" ya que sus propiedades topológicas no son afectadas por la deformación. Los topólogos utilizan la expresión superficies homeomorfas para referirse a aquellas superficies que son "esencialmente iguales". Así, topológicamente, las superficies de dos esferas con radios distintos son homeomorfas. Para un topólogo es lo mismo una manzana, un balón de fútbol, uno de rugby o la superficie terrestre. Se dice que un topólogo ve un donut y una taza de café como la misma cosa, porque puede deformar cualquiera de ellos hasta obtener una forma básica común a ambos, que se llama toro.

Los topólogos están particularmente interesados en las variedades, o multiplicidad de formas. El objetivo de los topólogos es identificar todas las variedades posibles, incluyendo la forma del universo.

Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy simple. Imagine el lector que coloca una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón. Si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y decimos que es simplemente conexa.

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera.

Todas las variedades de dimensión n=2 están inmersas en el espacio de dimensión 3. Por analogía, se definen otras variedades de dimensión n estarían inmersas en espacios de dimensión n+1.

CONJETURA. En 1904, Poincaré (1854-1912) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras: en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología Geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas abiertos más importantes de la Matemática.

Para n=1 la conjetura es trivial y para n=2 ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, a que lo hiciera Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. Lo irónico es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía, hasta ahora, denodadamente a cualquier demostración matemática.