Ciencia y salud

Por José Antonio Lozano Teruel

Cómo apilar bien las naranjas

Sir Walter Raleigh (1554-1618), aventurero y escritor inglés, fue un personaje singular, que participó en expediciones de piratería contra las posesiones españolas, fundó la primera colonia inglesa en Norteamérica, luchó contra la Armada Invencible española y buscó, infructuosamente, la fuente de la juventud en la legendaria ciudad de El Dorado.

Armado caballero por la reina Isabel I, su gran poder lo perdió al descubrir la reina que se había casado en secreto con una de sus damas de honor. Su vida aventurera continuó y el rey Jacobo I le acusó de conspiración, siendo sentenciado a muerte. Durante su encarcelamiento de trece años en la torre de Londres escribió numerosos poemas y valiosas obras, incluyendo una Historia del mundo. Aunque tras su liberación volvió a dirigir una expedición a a América, a su regreso, finalmente, aconsejado por el embajador español, el rey le hizo decapitar.

LA CONJETURA. Indudablemente Raleigh deseaba conocer y explorar lo desconocido. Thomas Harriot era asistente suyo y, posteriormente, un célebre matemático que fue el primero en utilizar los símbolos > y <, "mayor que" y "menor que". Raleigh se dirigió a Harriot para preguntarle si conocía algún método sencillo capaz de resolver un problema típico que se les presentaba en aquellos tiempos a los marinos de guerra. ¿Cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco utilizando el menor espacio posible?. La pregunta, en términos matemáticos sería: ¿Cuál es el empaquetamiento más denso posible para un conjunto de esferas?.

Harriot fue incapaz de encontrar una respuesta matemática y pasó la consulta al gran astrónomo alemán Johannes Kepler. Kepler, en 1611, le contestó, pero no en forma matemática, sino afirmando que al igual que los fruteros colocan sus frutas (y aludió al ejemplo de las naranjas), la sabiduría centenaria indicaba que el sistema más adecuado era el del apilamiento en forma de pirámide. Desde ese momento había nacido lo que se conoce con el nombre de conjetura de Kepler. Esa idea de sentido común para el empaquetamiento de esferas, ¿se podría demostrar matemáticamente?. En la ciencia hasta lo que parece obvio ha de tener que demostrarse rigurosamente.

INTENTOS. Según la conjetura de Kepler, la densidad de un empaquetamiento de un conjunto de esferas nunca excede de un número máximo. Este, indudablemente, es un problema apasionante de resolver en nuestra era de la Información, ya que guarda relación con las soluciones para guardar información en discos compactos o para comprimir información que haya de ser transmitida posteriormente.

Pues bien, pasaron los años, y a principios del siglo XIX el matemático Carl Friedrich Gauss que había sido capaz de dar una explicación adecuada al concepto de número complejo, expuso que la conjetura de Kepler solo se cumplía si los empaquetamientos de las esferas adoptaban la forma de una red. Un problema análogo al de Kepler, en dos dimensiones, sería el de empaquetar discos circulares de igual diámetro tan densamente como fuese posible. Gauss mostró que, en este caso, la solución es una disposición hexagonal en la que cada disco está rodeado por otros seis en una estructura reticular. Pero, ¿que sucede en las dimensiones superiores?

Mucho más recientemente, en 1953 el matemático húngaro Laszlo Toth dio un paso gigantesco al reducir el problema a una serie finita de cálculos para un determinado volumen de casos específicos.

Y, en 1998, pareció que se llegaba al final. El científico americano Thomas Hales, continuando la labor de Toth, formuló una ecuación de 150 variables que describía los 5000 posibles agrupamientos de esferas concebibles, solucionando cada caso, por sistemas de programación linear, lo que significó el uso de sofisticadas técnicas informáticas, con la resolución individualizada de más de 100.000 problemas de programación lineal en los que cada uno incluía entre 100 y 200 variables y de 1000 a 2000 restricciones. Ello le llevó diez años de investigación en dos universidades y su investigación la plasmó en un trabajo de 250 páginas que fue divulgado por correo electrónico. Pero los especialistas indicaron que, aunque un 99% de la investigación de su demostración matemática era correcta el otro 1% era imposible de verificar.

FINAL. Han tenido que transcurrir otros seis años más de estudios y refinamientos. Pero, el pasado martes 6 de abril, el periódico New York Times, en un extenso artículo del periodista científico Kenneth Chang, anunciaba que, finalmente una de las revistas matemáticas más importantes del mundo ANNALS OF MATHEMATICS, tras los correspondientes informes de los expertos, ha aceptado publicar la parte teórica de la demostración, mientras que otra revista científica especializada, DISCRETE AND COMPUTATIONAL GEOMETRY, publicará el ingente trabajo informático de la demostración.

El debate principal abierto entre los matemáticos es el del papel que pueden jugar los ordenadores en las complejas demostraciones matemáticas. La conjetura de Kepler no es el primer ejemplo de ello. En 1976 los matemáticos Haken y Appel, de la Universidad de Illinois, usaron complicados cálculos informáticos para probar el teorema de los cuatro colores, que establece que cualquier mapa necesita tan solo de cuatro colores para asegurar que nunca dos regiones adyacentes tendrán el mismo color. El problema surgió cuando tras la publicación del trabajo algunos matemáticos comenzaron a encontrar pequeños errores. La realidad fue que, en cada caso, los doctores Haken y Appel fueron capaces de solucionar y fijar los pequeños problemas, pero usando las palabras de Dr. Robert D. McPherson, editor de la revista ANNALS OF MATHEMATICS, ese tipo de situaciones deja muy mal sabor de boca por lo que en el caso de la conjetura de Kepler han tenido que transcurrir 6 años de examen y perfeccionamiento del trabajo para que, parcialmente, es decir, solo la parte teórica, se haya admitido a publicación en esa revista.

En cualquier caso, está abierta la controversia sobre el papel de los ordenadores en la creación de ciencia matemática. El Dr. Conway, un matemático de la Universidad de Princeton opina que si los ordenadores actuales son capaces de vencer a los grandes maestros del ajedrez, es lógico pensar que los de mañana sean capaces de descubrir pruebas que han escapado a las mayores mentes humanas matemáticas. Posiblemente, la mente humana nunca podrá ser sustituida pero una ventaja de los ordenadores es la de que, sin problemas, pueden seguir rutas que sean anti intuitivas, lo que no nos sucede a los humanos.

Y, para el tendero de la esquina, que cuidadosamente prepara sus pirámides de naranjas, tomates, manzanas o granadas, la satisfacción de haber llegado a la misma solución, que tras más de 400 años de profundas investigaciones y esfuerzos parece que, definitivamente, ha sido demostrada con la conjunción de las más preclaras mentes humanas y de los ordenadores más potentes.