Ciencia y salud

Por José Antonio Lozano Teruel

El gran primo

El gran primo

magine el amable lector un número compuesto de tantos dígitos que si comenzamos a enumerarlos oralmente hoy (más de trece millones), sin interrupciones, a una velocidad de uno por segundo, la lectura no finalizaría hasta dentro de ¡cinco meses!. Ese número, el mayor número primo conocido se ha encontrado y el hallazgo le hace merecedor de aspirar a la concesión de un premio de cien mil dólares. Se trata del número primo que ocupa el lugar 45 de la serie de números primos de Mersenne.

HISTORIA

El estudio de los números naturales constituye la compleja e interesante rama matemática de la Teoría de Números, a la que el más importante matemático de la historia, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), le atribuía el carácter de Reina de las matemáticas. Los números naturales se dividen en dos categorías: los compuestos se pueden expresar como el producto de otros varios y, así, el número 30 equivale a 2 x 3 x5, mientras que los primos están formados por una sola pieza, sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad. Estos números siempre han ejercido una fascinación especial para los matemáticos y científicos.

En el siglo IV antes de Cristo, en el libro IX de Los Elementos, de Euclides,  ya se enunció el conocido como Teorema Fundamental de la Aritmética, que nos indica que todo número natural igual o mayor a dos se puede expresar, de manera única, como un producto de números primos. Trazando una analogía los números primos serían como los átomos en Química, que son irreducibles y generan las moléculas mediante diversas combinaciones. El problema radica en que encontrar los números primos que dividen a un número dado es un problema bastante difícil, no sólo desde un punto de vista teórico, sino también computacional. Es decir, que ni el ordenador más potente puede encontrar en un tiempo razonable, los divisores primos de un número que sea un poco “grande”. Esta circunstancia es usada en criptografía, ya que muchos métodos de codificación de información usan este hecho.

Aunque a partir de un cierto grado de complejidad es muy difícil localizar cuáles son los números primos lo que si se demostró, desde el propio Euclides es que su número es infinito.

A lo largo de la historia muchos matemáticos se han dedicado a estudiar los números primos y les han dado su nombre a ciertas series de ellos Así sucedió con Marin Mersenne, un fraile francés de la orden de los mínimos, que en el siglo XVII,  discutiendo sobre los números del tipo de dos(elevado a n) - 1, en la celda de su convento, con personajes como Fermat o Pascal. En el año 1644, en el prólogo de su libro Cogitata Physica-Mathematica, estableció que considerando un primo n entre 2 y 257, entonces dos(elevado a n) -1 es primo sólo para los números n siguientes: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257.

CARRERA
Hubieron de pasar más de 100 años para que el gran matemático suizo Leonhard Euler demostrase que,efectivamente, si n= 231 el número resultante no es primo y también para corregir la serie de Mersenne a partir de número 31: 61, 89, 107 y 127. El número primo número doce de esta serie de Mersenne,  el 2(elevado a 127) -1, sería como descubrió Lucas, en 1876,  el  70.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727. Durante 75 años mantuvo el récord de ser el número primo más grande conocido y siempre seguirá ostentando el de ser el número primo más grande descubierto usando métodos manuales.

Para abordar la meta de descubrir números primos cada vez mayores, en 1951 Ferrier usó por primera vez una calculadora mecánica superando al número de Lucas con otro de 5 cifras más. Pero poco duró la marca ya que ese mismo año el uso de un ordenador permitió una nueva superación en 35 cifras más. Era el comienzo de la era de la electrónica.

Lucas había usado para su logro un método mejorado por Lehmer en 1930, conocido como test de Lucas-Lehmer. Este test se adapta muy bien a la tecnología digital debido a que en sistema binario digital la división por 2(elevado a n) -1 se reduce a sumas y rotaciones de cifras. Esta circunstancia es la que ha facilitado que en las últimas décadas todos los récords sobre grandes números primos correspondan a estos números primos de la serie de Mersenne.

Así, en el año 1951 el mayor número primo conocido alcanzó las 79 cifras, lo que quedó pulverizado en menos de un año, al pasar a 687 cifras, que ya eran 3.376 en 1962. Como la potencia de los ordenadores se incrementó enormemente en esta época la traducción en el cálculo fue inmediata. Con el computador Cray T94, en 1966 se demostró la existencia del trigésimo cuarto número primo de Mersenne, el 2(elevado a 1.257.781) – 1, con un contenido total de 376.632 cifras

GIMPS
El avance tecnológico que supone Internet revoluciona todo y también lo hizo en este campo. A finales de 1995 George Woltman, programador y apasionado de la teoría de números, creó un programa optimizado para la búsqueda de primos de Mersenne y lo colgó en la red. Así empezó el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). La idea era que colaboradores de todo el mundo. a través de sus ordenadores personales, operasen sobre una base de datos central (www.mersenne.org). Scott Kurowski, en 1997, automatizó el proceso de participación y desde entonces, basta con un ordenador personal y la conexión a Internet para participar en la histórica búsqueda de los números primos tras descargar el software necesario. Automáticamente, la base de datos central le asigna al ordenador una serie de cálculos que son realizados con los recursos que no están siendo utilizados en cada momento, no interfiriendo así en su actividad normal. Una vez obtenidos los resultados, el mismo ordenador local los transfiere al central.  

Los primeros éxitos logrados, con los consiguientes récords de tamaños, fueron en 1996, por voluntarios franceses; en 1997, por ingleses; en 1998 y 1999, por americanos; y en el 2001 por canadienses. La Electronic Frontier Foundation ya entregó un premio de 50.000 dólares,  a Nayan Hajratwala, por descubrir en 1999 el primer número primo de más de un millón de cifras. Esta misma institución ha ofrecido un premio de 100.000 dólares para el descubridor del primer número primo con más de 10 millones de cifras. Ya se ha conseguido.

El número tiene más de 13 millones de dígitos, como comentábamos en el inicio de esta colaboración, y lo han logrado un grupo de matemáticos de la Universidad de California en Los Ángeles utilizando 75 ordenadores enlazados entre sí. La entrega del premio se llevará a cabo cuando se publique el número en una revista científica. La Fundación ya ha ofrecido otro premio de 150.000 dólares para el número de más de cien millones de dígitos. ¿Cuánto tardará en conocerse?