Ciencia y salud

Por José Antonio Lozano Teruel

Los juegos del Rey

Era un Rey muy sabio y poderoso. Un día llamó a su hijo y le comunicó que se iba y dejaba el reino en sus manos. Pero no incondicionalmente. Y las condiciones, en sí mismas constituían un GRAN JUEGO, en el que el hijo tendría que tomar decisiones. Según acertase o errase al adoptarlas ello le permitiría conservar o perder el reino, disfrutar o no de una vida de holganza e, incluso, tener o carecer de la libertad.

Hace unos 70 años John von Neumann, un gran matemático americano de origen húngaro, creaba una nueva especialidad matemática conocida como la teoría de los juegos. Se basaba en las estrategias seguidas en los juegos sencillos, que se rigen por reglas fijas, como sería el caso de las apuestas de cara o cruz, tres en raya, ajedrez o póquer. Lo que Neumann hizo fue desarrollar esas reglas y aplicarlas a juegos mucho más complicados, es decir, propugnar un análisis matemático de las situaciones en las que aparezcan un conflicto de intereses. La finalidad perseguida es la de encontrar las opciones óptimas para que, en las circunstancias consideradas, se consiga el resultado deseado. Ello es también aplicable a los diversos problemas que pueden aparecer en los campos de la sociología, la economía de la Ciencia política y militar, o cualesquiera otros. En la II Guerra Mundial, se aplicó la teoría de juegos en las áreas de la logística, la guerra submarina y la defensa aérea. A partir de entonces esta teoría evolucionó intensamente dentro del campo de las ciencias sociales, con una gran aplicación en la Economía, en el que uno de los múltiples ejemplos es el del equilibrio de Nash: en un juego con dos jugadores, X y Y en el que la elección de X es óptima dada la de Y, y la elección de Y es óptima dada la de X. Por sus aplicaciones a diferentes situaciones prácticas John Nash obtuvo el Premio Nobel de Economía en 1994.

EL REY. En la teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte n individuos o grupos (conocidos como los jugadores). Hay ciertas reglas del juego que dan las condiciones para que éste comience, las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego, el número total de jugadas que constituye una partida completa y los posibles resultados cuando la partida finaliza. Pero volvamos a nuestro Rey juguetón.

El "juego" propuesto por el Rey a su hijo podríamos contarlo así: "Hoy me marcho y en mi ausencia reinarás. No sabrás de mí nada hasta el día que regrese, ni siquiera si regresaré. Si lo hago y ese día te encuentro seriamente ocupado en la gobernación, a partir de ese momento serás el Rey definitivo. Pero si volviese y ese día estuvieses holgazaneando, disfrutando de los placeres, serás hecho prisionero para siempre. Y debes saber que poseo los mecanismos de información necesarios para saber, cada noche, lo que has hecho cada día y que yo siempre podría presentarme aquí el próximo día, cualquier día".
Al hijo del Rey le interesa reinar para siempre, pero no quiere renunciar a los placeres que le atraen, más agradables que el de la gobernación. Pero sabe si escoge los placeres, por cada día de holganza que se vaya acumulando los riesgos son mayores. ¿Qué hacer entonces?. Sus decisiones, y las del Rey, se corresponden a los de la lógica probabilística. ¿Existen soluciones matemáticas para ello?.

Este problema, el gran juego, fue propuesto, de forma general, no en forma de cuentecillo, en 1957, por el matemático D. Gillette. Las soluciones dependerían, para los dos jugadores implicados en cualquier variante del juego, de los valores respectivos que ellos le diesen a los diferentes resultados u opciones, así como del modo en que valorasen el futuro, comparado con el presente. Salvo para algún caso particular, hasta ahora no se había encontrado una solución general matemática para abordar las soluciones del gran juego.

LA SUMA NULA. Se dice que un juego es de suma nula si el total de las ganancias al final de la partida es cero; es decir, si el total de las ganancias es igual al total de las pérdidas. En el caso concreto campo de la economía, los juegos de suma nula se refieren a la no existencia de producción o destrucción de bienes durante el juego económico.

Respecto al gran juego, en 1968 Blackwell y Ferguson encontraron una solución para el caso particular de una suma nula, es decir, si los intereses del Rey y su hijo fuesen los mismos, pero opuestos. Ello podría ocurrir si suponemos que, cogido en falta, el hijo pudiera salir de la cárcel y alcanzar la libertad pagándole al Rey una cierta cantidad C de dinero diaria. Por el contrario, si regresara el Rey y encontrase a su hijo gobernando, para recuperar el Rey su reinado, diariamente tendría que pagar al hijo esa misma cantidad C. En tal situación, de suma nula, matemáticamente la mejor estrategia para el Rey sería escoger al principio un número N grande y cada día calcular el valor D = N + A - B . En esta expresión A sería, hasta entonces, el número de días verdaderos de gobernación del hijo y B los días que, también hasta entonces, hubiera holgado. La probabilidad de regresar del Rey, cada día, sería la de la inversa del cuadrado de D.

LA SOLUCIÓN. Las cosas permanecieron así durante unos diez años, hasta que, en 1981-1982, Mertens y Neyman fueron capaces de extender la solución a juegos con más de dos posibles resultados. Pero aun permanecía la restricción de la suma nula, es decir, que lo que un jugador perdiese habría de equivaler, exactamente, a la ganancia del otro.

Han tenido que transcurrir otros 17 años para que un matemático francés, Nicolas Vieille, encuentre lo que parece ser una solución compleja, pero definitiva al problema del gran juego, a través de una serie de cuatro artículos publicados desde 1992 hasta el presente. En todo caso, no se trata de una prueba constructiva. Por ello, en bastantes ocasiones, no se puede dar una solución concreta, como la del cuento del Rey y su hijo, sino simplemente alcanzar la conclusión de saber que existe solución. De cualquier modo, los expertos en la Teoría de Juegos opinan que el obtenido es un gran logro, que ha necesitado el uso de herramientas muy sofisticadas de todas las ramas de las matemáticas, desde la geometría algebraica a la teoría ergódica (derivada de la mecánica estadística).
Lo que parece evidente es que el hecho de haber encontrado soluciones al problema general del gran juego dará lugar a la aparición de nueva clases de modelos, más adecuados que los existentes, para estudiar cualquier clase de fenómenos de conflicto y de cooperación. También está claro que tales modelos serán de gran utilidad para el estudio científico de todo tipo de interacciones sociales y económicas.