Ciencia y salud

Por José Antonio Lozano Teruel

El pentium y los números primos

Posiblemente, la teoría de números y su aplicación a los números primos pueden haber salvado recientemente de una gran catástrofe industrial y económica a la gigantesca Intel Corporation, una de las mayores empresas informáticas del mundo.

El mercado de los procesadores de los ordenadores personales compatibles se encuentra claramente dominado por Intel, con sus conocidas series 286, 386, 486, etcétera. a los que se suman otros más potentes con fines más específicos. Pero sus mayores esperanzas se cifran en el nuevo y más veloz procesador Pentium, que supera ampliamente las prestaciones hasta ahora usuales y cuya comercialización, anunciada a bombo y platillo, tuvo lugar hace varios meses.

QUEJAS. En un mercado planetario, mundial, es esencial el éxito o fracaso inicial de un producto destinado a crear una pequeña revolución en la renovación de los ordenadores. De ahí la preocupación de la compañía, e incluso sus primeros intentos de ignorar las quejas, sobre ciertos esporádicos fallos evidenciados en ordenadores dotados con Pentium, en campos tan diversos como los científicos o los bancarios, provocando resultados peligrosamente erróneos, aunque el usuario normal no detectase anomalías destacables. Imaginemos que un fallo de entidad supondría no solo la sustitución de los procesadores en todos los ordenadores vendidos, almacenados o en producción, sino las más importantes pérdidas derivadas de los gastos de Investigación y lanzamiento del procesador. Y, sobre todo, llevaría consigo el desprestigio de la imagen de la compañía, con sus correspondientes consecuencias económicas.

La realidad es que una vez puesto el nuevo chip en producción, Intel, antes que los usuarios, había detectado algo raro, pero decidieron que ello no afectaría al cliente normal ya que, por otra parte, resultaba muy difícil la localización del posible fallo. Sin embargo, el problema existía y tenía que hacerse evidente. En su detección, Investigación de sus causas y subsiguiente corrección de las mismas ha jugado, involuntariamente, un papel importante el matemático Thomas Nicely, del Lynchburg College de Virginia, quien intentaba utilizar, entre otros, su nuevo ordenador dotado con Pentium, en complejos cálculos relacionados con la teoría de números y de los números primos.

NÚMEROS PRIMOS. En realidad a Nicely lo que le interesa no son los ordenadores sino un concepto conocido matemáticamente como suma o número de Brun, que está relacionado con la distribución de la secuencia de números primos (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etcétera.). Para aquellos que han olvidado sus nociones matemáticas elementales recordaremos que los números primos son números naturales que no son divisibles por ningún otro número natural, salvo por sí mismos y por la unidad.

De siempre, los números primos han fascinado a científicos y matemáticos. Desde Euclides, los antiguos griegos ya dedujeron que su serie es ilimitada, que no existe un límite superior y, dado uno de ellos, siempre es posible encontrar otro mayor. Pero quedan muchas cosas por saber respecto a los números primos. Una de ellas se denomina conjetura de Goldbach (1690-1764), quien postuló que todos los números pares eran suma de dos números primos. Lo que ocurre, pues, es que no se conoce la regla, si es que existe, que determina la aparición de un número primo en la serie de números naturales. Aunque al principio de la serie su frecuencia es relativamente alta, se van haciendo más raros conforme se avanza, de modo que, si el 44% de los números con un dígito o cifra son primos (4 de 9), y el 23% de los de dos cifras (21 de 90), tan solo lo son el 4% de los de diez dígitos y menos del 1% de los números compuestos por cien dígitos.

También es curioso observar la existencia de parejas de números primos impares consecutivos, como pueden ser las parejas de 5 y 7, 11 y 13, 101 y 102 o 10007 y 10009, escogidas entre las muchas posibles. Un primer problema es que no es posible conocer si la cantidad de estas parejas es finita o infinita, pero una importante aportación a su estudio la realizó el matemático noruego Viggo Brun, quien señaló que, finitas o infinitas, si se van sumando sus correspondientes recíprocos el resultado de su cuantía converge hasta un valor finito, el número de Brun. Sucede análogamente a lo que ocurre si sumamos los recíprocos de las sucesivas potencias del número dos, es decir, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +..., cuya suma tiende a aproximarse a 1. En el caso de las parejas de números primos se trata de sumar los recíprocos correspondientes (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11+ 1/13) +... Los especialistas en teoría de números piensan que es muy improbable que sigan existiendo este tipo de parejas cuando los números sean muy elevados, pero la realidad es que son incapaces de demostrarlo y una vía confirmatoria para ello sería realizar los mejores cálculos posibles respecto al número de Brun. La primera aproximación, vía ordenador, se hizo en 1974 por dos matemáticos que trabajaban en la Marina americana, con las parejas halladas entre los primeros dos millones de números primos. En 1976 se estudió el rango de los primeros cien mil millones de números primos, lo que incluyó a cerca de un cuarto de millón de parejas, estimándose el número de Brun, con 8 cifras decimales seguras, en 1,90216054.

EL PENTIUM. Pero, volviendo al procesador Pentium y al matemático Nicely, éste, en 1993, comenzó un proyecto computacional sobre teoría de números, intentando incluir en la suma de parejas de recíprocos a los primeros billones de los mismos, para lo cual utilizaba dos métodos que comparaba entre sí. Con el primero, usando la coma flotante del ordenador, esperaba asegurar las primeras 19 cifras decimales del número de Brun y con el segundo y preciso método matemático aspiraba conseguir 53 cifras decimales exactas. En marzo pasado comenzó a trabajar con el Pentium, pero la divergencia obtenida al comparar los dos métodos era superior a la que tenía que existir realmente, es decir, que el ordenador equivocaba los cálculos. Había un error, que pudo descubrir y que consistía en una incorrecta posición de la coma decimal en los recíprocos de la pareja de números primos 824.633.702.441 y 824.633.702.443, lo que hacía aparecer resultados alterados a partir de la décima cifra decimal. Sin embargo, al repetir esta porción del cálculo en otros ordenadores con el procesador Intel 486, los errores desaparecieron. Puesto sobre la pista de la causa del error, en octubre pasado pudo demostrar que otras dos máquinas dotadas con el chip Pentium también reproducían el mismo error, lo que notificó inmediatamente a Intel, que no se dio por enterada, por lo que Nicely, por el correo electrónico de Internet, dio cuenta del problema, solicitando información adicional sobre fallos parecidos.

Efectivamente, se comprobó así que el problema existía y que parecía limitado al cálculo de los recíprocos de números, un fallo en el algoritmo de la división, y que el error se produce tan solo en uno de cada diez millones de cálculos realizados. Ello dio lugar a la respuesta apresurada de Intel, que ha podido corregir el chip y ha decidido incluir la computación de la teoría de números como una rutina dentro de su proceso de pruebas de la fabricación. E, incluso, le ha pedido al matemático Nicely que continúe sus complejos trabajos de computación usando los nuevos procesadores corregidos, como una garantía adicional de la calidad del producto. Por ello, como indicábamos en el comienzo de este artículo, los números primos pueden haber constituido la salvación de Intel Co.